我国《婚姻法》第三十七条规定：“离婚后，一方抚养的子女，另一方应负担必要的生活费和教育费的一部分或全部，负担费用的多少和期限的长短，由双方协议;协议不成时，由人民法院判决。”
由此可见，夫妻离婚后，子女无论随父方还是随母方生活，父母与子女的关系都不会因夫妻离婚而改变。
另外，婚姻自由是我国《婚姻法》的一项基本原则，包括结婚自由和离婚自由，任何人不得对他人的婚姻自由以任何形式加以干涉，因此，再婚是刘某的权利，前夫无权干涉，且离婚时不得再婚的承诺因违反《婚姻法》而没有法律效力，刘某的前夫无权以此承诺为由拒付抚养费，同时他负有给付抚养费的义务。